《从数学的视角通过彰显数学的内在魅力去琢磨如何征服学生》可能是您在寻找小学数学教学论文随笔过程中需要的内容，欢迎参考阅读！
太仓市实验小学 吴振亚 启东市中小学教师研修中心 蔡宏圣 如果说哲学研究的是世界上一切事物最普遍规律的话，那么，数学哲学研究的是数学发生和发展的最普遍规律。关于数学史与数学哲学间的关系，康德有句广为传颂的名言：数学史一旦缺少了数学哲学的引导，便是盲目的；至于数学哲学，要是对数学史中最引人遐想的现象不理不睬，那么，它便是空洞的！数学领域的最高智慧数学哲学研究都需要从数学史中汲取营养，那数学教育凭什么拒绝数学史呢？限于篇幅，本文选取数学课改的两个问题，看看数学史能给予我们什么启示。数学凭什么吸引学生？
2002年8月，陈省身先生为以“走进美妙的数学花园”为主题的中国青少年数学论坛分别题辞“走进美妙的数学花园”、“数学好玩”。特别是“数学好玩”的铮铮教诲，凝聚着一代数学大师自身学习数学、研究数学的切身体会，某种意义上也揭示了数学潜在的某种特质——一个数学教师，不仅仅需要从教育学、心理学的视角运用外在的形式去把握如何吸引学习，更需要从数学的视角通过彰显数学的内在魅力去琢磨如何征服学生。
说起“好玩”，大家都会想到游戏。大多数成人都有过游戏的经历和体会。回顾这些体验，一个好玩的游戏，首先是容易入手，不复杂，能很快地玩起来；其次是有点小难度，随着玩法的熟练，不断有匹配你能力的新进阶等着你去挑战，从而避免了“也就这样”的乏味，吸引着人废寝忘食。在数学里也有游戏，比如七巧板、华容道、九连环等。七巧板，在国际上被称为“唐图”。 拿破仑在滑铁卢兵败之后，在流放的岁月里，常玩七巧板消遣。为什么没有感到厌倦？因为，七巧板拼成的图案成千上万！中国科学院院士张景中教授著有《好玩的数学》科普丛书，其中有吴鹤龄先生《七巧板、九连环和华容道——中国古典智力游戏三绝》一书，剖析了三个经典游戏背后的数学道理，玩智力游戏的本质是在玩数学。
数学知识源于人类的生产劳动实践，但数学科学却源于古希腊人的理性思辨。在人类文明史上，公认的古代文明有古中国、古埃及、古印度、古巴比伦，世人称之为“四大文明发源地”。古中国、古埃及的数学成就都和解决生产劳动中的实际问题紧密联系，而古希腊人通过航海贸易获得了这些数学结果后，在人类历史上破天荒地第一次对这些数学结果进行了理性的哲学考察——为什么它们会如此？相传古希腊的第一个贤者泰勒斯，从古埃及那里继承提出了4个几何命题的一般形式，并设法证明了“等腰三角形底角相等”。公元前387年，柏拉图建立了自己的学院，门口赫然竖立着“不懂几何者禁入”，能进入学院聚在一起讨论交流的已不可能有真正意义上的劳动者，阳光下、草地上，大家温文尔雅讨论的也不是一个数学结论能直接解决生产生活中的那个问题，而是交流如何赋予一个数学结论以逻辑性。欧几里得和他的《几何原本》是人类历史上第一个理论形态的科学，这个史实至少可以说明柏拉图和他的弟子们实际上没有做出更多的名堂，但重要的是柏拉图开创了从经验几何提升为证明几何的里程碑。在这过程中，吸引人的已经不是数学的使用价值，而是纯粹的智力乐趣。对照那时人类社会的发展状况看，柏拉图他们不被数学的实用性所累，坐而论道讨论数学的真理性，谈论数学在古希腊人那里已经成了优雅的智力游戏。因而，英国数学家哈代(1877—1947)说：激励数学家做研究的主要动力是智力上的好奇心，是谜团吸引力。陈省身先生说“数学好玩”，正是对数学发展这一特质的凝聚，也是其自身在学习和研究数学中感悟的哲理。先生在天津扶轮中学求学时，乐此不疲地寻找弦切角定理的多种证明方法，写就《一个几何定理的十六个证明》一文，刊登于校刊《扶轮》杂志上，享受的便是思考的乐趣。
陈省身在提出“数学好玩”的同时，还曾论及“虽然数学的成果都是创新的，毕竟还有好的数学和不大好的数学之分”，“有些数学具有开创性的、有发展的，这就是好的数学”。最终证明费马大定理的数学家安德鲁·霍尔斯，10岁时已经着迷于数学。他回忆说：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成自己的新题目，不过我以前找到的最好的题目是在我们的地区图书馆发现的。”埃里克·坦普尔·贝尔写的《大问题》一书记录了费马的最后命题，它使一个个数学家望而生畏，长达几百年还没有人解决它。霍尔斯这样描述看到这个问题时的感受：“看上去如此简单，但历史上所有大数学家都未能解决它，这里正摆着一个我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它，我必须解决它“。无独有偶，《大自然的分形几何学》的作者罗德尔布罗特，在书的引言中写道，“自然界的许多图形（比如云彩、海岸等），是如此的不规则和支离破碎”，“这些图形的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边，被认为是‘无形态可言’的形状”，“作为对这个挑战的回答，我构思并发展了大自然的一种新的几何学”。
综上所述，数学就其客观意义，本身无“好玩”之说，要被学习者建立起“好玩”的主观感受，那总结起来不外乎两条，其一简单有趣，其二别有洞天。简单有趣，能让参与者很快入境；别有洞天，能让参与者欲罢不能。不少人觉得数学难，所以不爱数学，实际上这是表面现象。数学能让一部分人终生追随，不是因为简单，恰恰是因为有点难。因而，不爱数学的问题本质在于，面前的数学对他们来说，“难”得不合适！如果要解决的问题，就像跳一跳能摘到的果子，那么他就不会计较跳一跳的努力，反而因为跳一跳更难于忘怀那果子的鲜美！
数学，是人类智力的皇冠，吸引人沉醉其中的是可以享受智力的高峰体验。一个高明的数学教师，要呈现与儿童的认知水平相匹配的那些数学——能解决又不能随手可得、有信心又需要再作努力的那些数学。如此，学习的过程犹如陶渊明先生的游记所描述的：“山有小口，仿佛若有光。便舍船，从口入。初极狭，才通人。复行数十步，豁然开朗”。这样的数学学习过程，积累着“辗转反侧、冥思苦想→石破天惊、豁然开朗”的思考乐趣，学生怎么会抛弃数学呢？先让学生想起来，再让学生想下去就总有收获，那么，学生就对每次思考都翘首以待！
怎样的“先学后教以学论教”才完美？
无论那本数学史著作，如果要列举若干位世上最伟大的数学家及其成果的话，里面肯定有古希腊欧几里得和他的《几何原本》。通览《几何原本》，通篇都是前人业已发现提出的各种数学结论。欧几里得的伟大，只是重新组织使得它们不再零散。他首先把人们公认的事实列为公理或定义，然后用演绎推理的方式推导出其他所有的定理。就这样，他创造了一种从公理、定义出现，不断论证命题得到新定理的构造数学理论的方法，把数学从现实、经验的领域里提升为脱离实际充满演绎与证明的纯粹数学。自此以后，欧几里得的《几何原本》一直是数学家工作的楷模和典范（而实际上，它的影响远远不止数学家）。
到了17-19世纪，历史重复着这样的片段，只不过公理化对人类的心智提出了更大的挑战。先是牛顿和莱布尼茨创造了微积分，许多疑难问题运用这一工具后变得易如反掌，不过无限小概念的随意与混乱遭致了不少质疑与批评。而实际上，先前的数学家们是从现实生活中抽象出概念，而更多数学家们则是在自己的心智中创造出概念。由于这些概念及方法还很能解决实际问题，因而，这种创造变得越来越自由自在和毫无忌惮，越来越多的从人思考中产生的观念进入了数学，以微积分为源头衍生出许多重要的数学方法，但那些数学在逻辑上都不能得到保证，数学充溢着直觉、归纳推理以及似是而非的证明，这样的状况让另一部分数学家从19世纪20年代开始掀起了数学公理化运动，直到19世纪70年代，魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金建立了实数理论，解决了因微积分基础不牢而造成的三百多年争论——这就是数学史上的第二次数学危机。
抓住欧几里得及其《几何原本》、数学史的第二次数学危机加以分析，如果高度概括数学发展的话，数学史实际上只有两种历史片段：其一是数学结论的创造阶段，这里往往是伟大数学家的大胆猜测、直觉或类比推理起着更大的作用；其二是数学理论的构建阶段，把已经被创造出来的数学结论用演绎推理的方式赋予逻辑性。也就是说，尽管数学的最终表现形式是严格的演绎方式，但又只有依靠直觉、大胆的猜测，并通过多次的反复（猜测、反驳、再猜测、再反驳），我们才能发现并最终获得可靠的知识。用演绎推理的方式证明，虽然是数学的灵魂，但干这个活之前，总得要明确要证明什么，所以从这个意义上爱因斯坦说：“解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的理论，从新的角度去看旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步”。数学学习不仅要学习如何用演绎的方式去证明，也要有大量的机会去体会如何猜测、如何类比和归纳，这才是完整的数学学习生活！一个对数学看得越透彻的老师，也就越能在数学教育的各种纷争中保持应有的定力。当下，数学课堂中“先学后教、以学论教”的实践如火如荼。这样做的理论基础是：学生是有学习能动的人，不是一张白纸，因而凭什么把所学知识给藏起来怕孩子先知道？难道只是为了确保教师在课堂里更像个权威？这一番理论很有说服力，让学生先学起来，把孩子从原先的学习被动状态中解放出来，也肯定没有错。但需要慎思，学科教学在承载教育功能的同时要体现学科的特质，只有这样，各个不同学科构建而成的课程体系才有意义。不说“先学后教、以学论教”异化成“先学后教、大量做题”带来的对数学教育目标的伤害，也不说先学时围绕着预习题、辨析题进行着对新知的解读式学习滤去了数学内在的思想精髓，就是神似的“先学后教、以学论教”，孩子们阅读教科书知道了数学结论后，课堂中所做的事便是运用所有的旧知去设法验证、说明该结论的成立！这样的课堂实践也以事实说明，放开了让孩子们先学，的确能激发他们的学习能动性和潜在智慧。但要警惕的是，孩子们的所有智慧都是服从于已有的结论，千方百计地验证和说明这个结论的正确，没有机会在问题情境的逼迫中提出自己的想法！这种机会的缺失，往小处说，是数学课程的功能被打了一半的折扣。往大处说，是对国家意志的违背。
当下，我国可工作人口已经开始萎缩，拼资源消耗、拼环境牺牲的经济发展模式已经走到尽头，国家发展只能走创新改革之路。2014年12月中央经济工作会议全文16处用了“创新”一词，可见“创新”对于中华民族振兴的重要。因而，《国家中长期教育改革与发展规划纲要（2010-2020年）》指出，教育改革要实现“人口大国向人力资源强国”的转变，要“着力提高学生的学习能力、实践能力、创新能力”。所以，“先学后教、以学论教”要防止“先学”只变成了“先知道”，而不是“先思考”。在学习战略性概念等内容时，把数学结论藏起来，是给予学生像个发现者那样独立探索的机会，是给予学生发现问题、大胆猜测、思考验证、收获成功的创新机会。课堂交流展示，不仅仅要讨论个人对现有结论的理解和验证，还应该找合适的内容组织学生交流：你自己提出了什么想法、你的想法道理何在，然后对照现有结论交流：现有的结论高明在何处。这一切正如数学课程标准（2011年版）提出的“自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法”，无论用什么教育模式，创新意识的培养都应贯穿始终。
无论什么时候，当下都是历史中的一个片段。对于历史，我们都应心存敬畏。在数学发生发展的历史中，我们能看到数学的源与流、美与理，还能看到谬误与曲折、发现与构造，甚至能透过数学的知性看到背后的人性……对于已经完成模式化、结构化的近代数学来说，这些可能已经没有价值，但对于数学的教与学来说，所有的这些都是不可或缺的财富。
